线性可加模型linear additive model

一个试验观察值按其变异来源划分的线性分解式。若从一个均数为μ方差为σ2的正态总体中随机抽取的观察值xi可分解为总体平均和随机误差两部分，所以其线性可加模型为：
x_i＝μ+ε_i (1)
式中 ε_i为随机误差服从正态分布N(0,σ²)。假如将上述总体分成k个亚总体，各施以不同的处理，设第i处理的效应为τi (i=1,2，…，k)，则第i亚总体的平均数为μ_i＝μ+τ_i。从任一亚总体随机抽出的观察值x_ij(i=1,2，…，k,j=1,2，…表示观察序数)的线性可加模型为：
x_ij＝μ+τ_i+ε_ij (2)
这就是单向分组资料中观察值的数学模型。根据试验设计不同可以有不同的线性可加模型，但它们有一共同特点，即各分量都取一次项，故称之为线性可加模型。如双向分组资料中观察值x_ij的线性可加模型为：
x_ij＝μ+τ_i+ρ_j+ε_ij (3)
式中 τ_i为因素A第i水平的效应，ρ_j为区组j的效应。在式(2)中，ε_ij服从正态分布N(0,σ²)，但根据τ_i的性质不同，可分为固定模型和随机模型。所谓固定模型是指试验的各处理都抽自特定的处理总体，分别遵循正态分布N(μ_i,σ²)，处理效应τ_i＝μ_i-μ是固定的常量，并满足τ_i＝0，试验目的在于研究τ_i。如重复做试验，所用的处理将是同一套的，即处理效应是固定的。根据式(2)模型可导出方差分析中误差均方S²是σ₂的估值，处理均方S_t²是σ+nk²_i的估值，其中k²_i＝

即k²>0。所谓随机模型是指试验中各处理皆抽自正态分布N(0,σ²_τ)的一组随机样本，即处理效应τ_i是随机的遵循正态分布N(0,σ²_τ)，试验目的不在于研究τ_i本身的大小，而在于研究τ_i的变异程度，即σ²_τ。所以，方差分析所测验的是H₀:σ²_τ＝0,HA:σ²_τ>0，统计推断的不是某些供试处理的效应大小，而是关于抽出这些处理的总体情况，这里误差均方S误²估计是σ²，而处理均方S²估计的是σ²+nσ²_r，因此

在H₀:σ²＝0的假设下，F才能与F比较。显然固定模型和随机模型的分析重点不同，前者在于对τ_i的分析，后者在于对σ²的分析。农化研究的试验资料大多属于固定模型，如肥料用量试验和肥料品种试验等均为固定模型。连续多年进行的肥料试验中年份效应为随机模型。