契比雪夫不等式qibixuefu budengshi
设01≤
| 则 |
| 如果 |
| 或 |
| 则 |
| 当a1＝a2＝…=an |
| 且 |
| b1＝b2＝…=bx |
| 时各式取等号. |
| 更一般地，若 |
| 01≤a2≤…≤ax,01≤b2≤…≤ |
| bx或a1≥a2≥…≥ax>0,b1≥b2≥…≥bx>0,r>0 |
| 则 |
| 如果 |
| a1≥a2≥…≥ax>0,01≤b2≤…≤bx |
| 或 |
| 01≤ |
| a2≤…≤ax, b1≥b2≥…≥bx>0, r>0 |
| 则 |
| 当 |
| a1=a2 |
| =…=ax |
| 且 |
| b1＝b2=…=bx |
| 时各等式取等号. |
契比雪夫不等式qibixuefu budengshi
设随机变量X的期望E (X)与方差D (X)存在，则对任意的ε>0，有
或P{|X-E
这就是著名的契比雪夫不等式，契比雪夫不等式给出了在未知X的分布情况下，对概率P {|X-E(X) |≥ε) 或P {|X-E (X) |<ε) 的一种估计，这种估计只需要知道方差D (X)及数学期望E (X)两个数字特征就够了，因而，使用起来较为方便，但是，它没有完整地用随机变量的统一规律——分布函数或密度函数，因此，一般地说，由此不等式给出的估计是比较粗的，例如，若X是N (α,σ2)分布的随机变量，则由不等式得估计
可知P {|X-α|≤3σ) ≈0. 997，故有P {|X-α|≥} 3σ≈0. 003，从这两个结果可以看出，契比雪夫不等式给出的估计是较为粗的，然而，它在理论上有重要意义，